$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

2. 解き方の手順

$\theta$ は鈍角であることから、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ である。この範囲では、$\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ である。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係式を使う。

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ より、$\tan^2 \theta = (-2\sqrt{2})^2 = 8$

したがって、

$8 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$9 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$ より、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\sin \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$\sin \theta > 0$ より、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$