三角形ABCにおいて、$a=7, b=5, c=4$であるとき、$cosA$と$sinA$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7, b=5, c=4$であるとき、$cosA$と$sinA$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$cosA$を余弦定理を用いて求める。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA$で表される。

これを$cosA$について解くと、

$cosA = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

となる。

与えられた値を代入すると、

$cosA = \frac{5^2 + 4^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{25 + 16 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

次に、$sinA$を求める。$sin^2A + cos^2A = 1$の関係を用いる。

$sin^2A = 1 - cos^2A$

$sinA = \pm \sqrt{1 - cos^2A}$

$cosA = -\frac{1}{5}$なので、

$sinA = \pm \sqrt{1 - (-\frac{1}{5})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$A$は三角形の内角なので、$0 < A < \pi$であり、したがって$sinA > 0$である。

よって、$sinA = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

$cosA = -\frac{1}{5}$

$sinA = \frac{2\sqrt{6}}{5}$