2直線 $y = x + 1$ と $y = -(2 + \sqrt{3})x - 1$ のなす鋭角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

2直線 $y = x + 1$ と $y = -(2 + \sqrt{3})x - 1$ のなす鋭角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

2直線のなす角は、それぞれの直線の傾きを用いて $\tan$ で表すことができる。

それぞれの直線の傾きを $m_1$, $m_2$ とすると、2直線のなす角$\theta$ ($\theta$ は鋭角) について、以下の公式が成り立つ。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

まず、それぞれの直線の傾きを求める。

$y = x + 1$ の傾きは $m_1 = 1$

$y = -(2 + \sqrt{3})x - 1$ の傾きは $m_2 = -(2 + \sqrt{3})$

$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-(2 + \sqrt{3}))}{1 + 1 \cdot (-(2 + \sqrt{3}))} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{1 + 2 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-(1 + \sqrt{3})} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{-(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{-(1 - 3)} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{2} \right|$

$\tan \theta = \left| -\sqrt{3} \right|$

$\tan \theta = \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$ または 60°