$\triangle ABC$において、$\angle ACB$は鈍角であり、$BC > AC$である。$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。 (1) $\sin \angle BAC$の値を求めよ。 (2) $\cos \angle BAC$の値を求めよ。また、辺$AC$の長さを求めよ。 (3) 辺$AB$上に$\angle ACD = 90^\circ$となるような点$D$をとる。このとき、線分$CD$の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$の外接円の中心を$O$とするとき、四角形$OCDB$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\angle ACB$は鈍角であり、$BC > AC$である。$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。

(1) $\sin \angle BAC$の値を求めよ。

(2) $\cos \angle BAC$の値を求めよ。また、辺$AC$の長さを求めよ。

(3) 辺$AB$上に$\angle ACD = 90^\circ$となるような点$D$をとる。このとき、線分$CD$の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$の外接円の中心を$O$とするとき、四角形$OCDB$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\sin \angle BAC = \frac{BC \cdot \sin \angle ACB}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$\angle BAC$は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

$BC > AC$より、$AC = 3$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$なので、$\triangle ACD$は直角三角形である。

$\cos \angle BAC = \frac{AD}{AC}$より、$AD = AC \cdot \cos \angle BAC = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{9}{4}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{144 - 81}{16}} = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{24 - 9}{4} = \frac{15}{4}$

$\triangle BCD$の外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BDC} = 2R$

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC$

$\sin \angle BDC = \sin \angle ADC = \frac{AC}{AD} = \frac{3}{3\sqrt{7}/4}=\frac{CD}{AC} = \frac{3 \sqrt{7}/4}{3} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\angle BCD + \angle BCA = 180$

$\sin(\angle BCD + \angle BCA) = \sin\angle BCA = \frac{\sqrt{14}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$