$\sin \theta = \frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{5}{6}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

まず、$\cos^2 \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{5}{6}$ を代入します。

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{6})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{36}$

$\cos^2 \theta = \frac{36}{36} - \frac{25}{36}$

$\cos^2 \theta = \frac{11}{36}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{11}{36}} = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta$ は負の値をとります。したがって、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{11}}{6}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ですから、

$\tan \theta = \frac{\frac{5}{6}}{-\frac{\sqrt{11}}{6}}$

$\tan \theta = \frac{5}{6} \times (-\frac{6}{\sqrt{11}})$

$\tan \theta = - \frac{5}{\sqrt{11}}$

最後に、分母を有理化します。

$\tan \theta = - \frac{5}{\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

$\tan \theta = - \frac{5\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = - \frac{5\sqrt{11}}{11}$