$\cos \theta = -\frac{5}{6}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{5}{6}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角とする。

2. 解き方の手順

三角関数の基本的な恒等式である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\cos \theta$ の値が与えられているので、この式に代入して $\sin^2 \theta$ を求めます。

次に、$\sin \theta$ の値を計算します。$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、この範囲では $\sin \theta > 0$ であることに注意して、$\sin \theta$ の正の平方根を取ります。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\cos \theta = -\frac{5}{6}$ を代入します。

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{5}{6}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{25}{36} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{36}{36} - \frac{25}{36}$

$\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{11}{36}}$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\theta$ は鈍角なので、$\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \frac{\sqrt{11}}{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{11}}{6}$