整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

この対偶が真であることを証明する。

$n$ が偶数であると仮定する。すると、$n$ はある整数 $k$ を用いて $n=2k$ と表せる。

このとき、$n^2$ は

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

となる。$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は2の倍数であり、偶数である。

したがって、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」は真である。

対偶が真であるから、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

整数 $n$ について、$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。