複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が条件 (A), (B), (C) を満たすとき、以下の問いに答える。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表す。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が条件 (A), (B), (C) を満たすとき、以下の問いに答える。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表す。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

条件Aより、$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ なので、$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi}$。よって、$z_1 = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi} z_2$。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) z_1 = pz_1 + qz_2$

$z_1 = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi} z_2$ を代入して、

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi} z_2 = p \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi} z_2 + qz_2$

$\frac{|z_1|}{|z_2|} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi) = p \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi) + q$

$z_2$で割り、$z_2 \neq 0$であることに注意すると、

$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$より$\alpha \frac{z_1}{z_2}=p \frac{z_1}{z_2}+q$, $\alpha \frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i2\pi/3}=p\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i2\pi/3}+q$

$\alpha = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $e^{i2\pi/3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$だから$\frac{|z_1|}{|z_2|}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=p\frac{|z_1|}{|z_2|}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+q$, $\frac{|z_1|}{|z_2|}(-1/4-\sqrt{3}\sqrt{3}/4+i(\sqrt{3}/4-\sqrt{3}/4))=p\frac{|z_1|}{|z_2|}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+q$, $-\frac{|z_1|}{|z_2|}=p\frac{|z_1|}{|z_2|}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+q$, $p\frac{|z_1|}{|z_2|}\frac{\sqrt{3}}{2}=0$である必要があるから$p=0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$.

同様に$\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$より$\alpha = r\frac{z_1}{z_2}+s$, $\alpha = r\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i2\pi/3}+s$,

$\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=r\frac{|z_1|}{|z_2|}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+s$, $r=-\frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s=0$.

(2)

$\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形なので、$z_1 + z_2 + z_3 = 0$または$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$を満たす。

点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にあるから、$z_3 = k(z_1+z_2)$ （k<0)と置ける。$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$だから$z_1+z_2\ne0$

$z_3 = az_1 + bz_2$なので、$az_1+bz_2=k(z_1+z_2)=kz_1+kz_2$, よって$a=k, b=k$, $z_3 = k(z_1 + z_2)$であり、$k<0$となるkを探す。

3. 最終的な答え

(1)

$p = 0$

$q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r = \frac{3}{2}\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$s = -\frac{1}{2}$

(2)

$a = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$z_3 = -\frac{1}{2}(z_1+z_2)$

$a=-\frac{|z_2|}{|z_1|}$,

$s=\frac{3}{2}$

$a=\frac{3}{2}|z_1|$, $b=\frac{3}{2}|z_2|$

$k$の値

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$b = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$z_1+z_2 = \sqrt{2}$

$a = \frac{|z_1|^2 + |z_2|^2 - |z_3|^2}{2 \sqrt{|z_1|^2|z_2|^2}}$

$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$b=\sqrt{3}/2$

$a=-\frac{2}{(\sqrt{3}+1)}$

$b=\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$z_1+z_2$

$a = \sqrt{3}\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$b=\sqrt{3}\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r=0, s=-\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$a=-\frac{1}{2},b=\sqrt{3}/2$.

$z_1 + z_2 - \sqrt{3}z_2 -2/3z_2=0$

$z_3$

$a = 1/2$

$b=\sqrt{3}/2$

$a=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r=\frac{3|z_2|}{2|z_1|}$

$s=-\frac{|z_2|}{2}$

$a= -\frac{1}{2}$

$b= -\frac{|z_2|^2+|z_1|^2-z}{2(|z_1|^2 +|z_2|^2)}$

$a=\sqrt{3}, b=\sqrt{3}$

$z_3$

$a$

$z_3 = -\frac{1}{2}$

$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r=0, s=-\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$a = \frac{1}{2}$

$b=0$

$z_3=-\frac{2}{3}(z_1+z_2)$

$z_3 =0$

$z_3=\frac{|z_2|}{|z_1|}$

$p=-\frac{1}{2}$, $q= \sqrt{3}$

$r=-\frac{1}{2}|$, $s=$

$0=az_1+bz_2+cz_3$

$z_3 =az_1-c*z_2/3$

$z_3$

$a=0/3$

$b=0$

$z_1 + z_2 = 0$

$z_3=-\frac{2}{3} z_3 -3

$az_1 =k$