一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\vec{AQ}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\vec{AQ}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{a} + \vec{b} + (-\vec{a})$

$\vec{AD} = 2\vec{b}$

$\vec{AE} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = (\vec{a} + \vec{b}) - 2\vec{b} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{DP} = \frac{2}{3}\vec{DE} = \frac{2}{3}(\vec{a} - \vec{b})$

$\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = 2\vec{b} + \frac{2}{3}(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$

次に、$\vec{AQ}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

点Qは直線AP上にあるので、$\vec{AQ} = k\vec{AP} = k(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b})$と表せる。（kは実数）

$\vec{AQ} = \frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{4k}{3}\vec{b}$

点Qは直線BF上にあるので、$\vec{AQ} = \vec{AF} + l\vec{FB} = \vec{b} + l(\vec{a} - \vec{b}) = l\vec{a} + (1-l)\vec{b}$と表せる。（lは実数）

$\vec{AQ} = \frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{4k}{3}\vec{b} = l\vec{a} + (1-l)\vec{b}$

$\frac{2k}{3} = l$

$\frac{4k}{3} = 1-l$

これを解いて、$k = \frac{3}{5}, l = \frac{2}{5}$

$\vec{AQ} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

最後に、$|\vec{AQ}|$の値を求める。

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$|\vec{AQ}|^2 = (\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}) \cdot (\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}) = (\frac{2}{5})^2|\vec{a}|^2 + 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \vec{a}\cdot\vec{b} + (\frac{3}{5})^2|\vec{b}|^2$

$= \frac{4}{25} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{25} \cdot 1 = \frac{4}{25} + \frac{6}{25} + \frac{9}{25} = \frac{19}{25}$

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{19}}{5}$

$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b} = \frac{4}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{a}$

$\vec{AQ} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{7}}{5}$と解答に書いてあるので、もう一度確認します。

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD}$

$\vec{AD} = \vec{a}+\vec{b}-\vec{a}+\vec{a}= \vec{a} + \vec{b}-\vec{AF}=\vec{AE} = \vec{a} + \vec{b}-\vec{a} + \vec{FA}=\vec{b}$

$\vec{a}-\vec{b}$, $\vec{b}$

$\vec{a}-\vec{b}$

$\frac{2}{3}DE$, ADE, AF, FB

$\vec{AE} = \vec{a}+\vec{b} \implies \vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = \vec{a}+\vec{b} - 2\vec{b} = \vec{a}-\vec{b}$

$\vec{DP} = \frac{2}{3}\vec{DE} = \frac{2}{3}(\vec{a}-\vec{b})$

$\vec{AP} = \vec{AD}+\vec{DP} = 2\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$

$\vec{AQ} = s\vec{AP} = s(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}) = \frac{2s}{3}\vec{a} + \frac{4s}{3}\vec{b}$

$\vec{AQ} = \vec{AF} + t\vec{FB} = \vec{b} + t(\vec{a}-\vec{b}) = t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\frac{2s}{3} = t$

$\frac{4s}{3} = 1-t$

$\frac{2s}{3} + \frac{4s}{3} = t + 1-t = 1$

$2s = 1$

$s = \frac{1}{2}$

$t = \frac{2s}{3} = \frac{2(1/2)}{3} = \frac{1}{3}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$|\vec{AQ}|^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1+4+2}{9} = \frac{7}{9}$

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{7}}{3}$