3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面の方程式を $ax + by + cz = d$ と置きます。

3点 $(1, 2, 3)$, $(3, 4, 1)$, $(0, 3, 8)$ がこの平面上にあるので、以下の方程式が成り立ちます。

$a + 2b + 3c = d$

$3a + 4b + c = d$

$0a + 3b + 8c = d$

3番目の式から、$d = 3b + 8c$が得られます。

これを最初の2つの式に代入すると、

$a + 2b + 3c = 3b + 8c$

$3a + 4b + c = 3b + 8c$

整理すると、

$a - b - 5c = 0$

$3a + b - 7c = 0$

これらの連立方程式を解きます。

2つの式を足すと、

$4a - 12c = 0$

$a = 3c$

$a = 3c$ を $a - b - 5c = 0$ に代入すると、

$3c - b - 5c = 0$

$b = -2c$

$a = 3c, b = -2c$ を $d = 3b + 8c$ に代入すると、

$d = 3(-2c) + 8c$

$d = -6c + 8c$

$d = 2c$

平面の方程式 $ax + by + cz = d$ に $a = 3c, b = -2c, d = 2c$ を代入すると、

$3cx - 2cy + cz = 2c$

両辺を $c$ で割ると ($c=0$の場合、すべての係数が0になるので平面を定義できません)、

$3x - 2y + z = 2$

3. 最終的な答え

平面の方程式は $3x - 2y + z = 2$ です。