点 $(5, 3)$ を通り、直線 $3x + y + 2 = 0$ に平行な直線 $l$ と、垂直な直線 $l'$ の方程式をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(5, 3)$ を通り、直線 $3x + y + 2 = 0$ に平行な直線 $l$ と、垂直な直線 $l'$ の方程式をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた直線 $3x + y + 2 = 0$ の傾きを求めます。$y$ について解くと $y = -3x - 2$ となるので、傾きは $-3$ です。

(2) 直線 $l$ は与えられた直線と平行なので、傾きは同じ $-3$ です。点 $(5, 3)$ を通る傾き $-3$ の直線の方程式は、点傾斜式を用いて以下のように表されます。

$y - 3 = -3(x - 5)$

これを整理すると、

$y - 3 = -3x + 15$

$y = -3x + 18$

したがって、直線 $l$ の方程式は $3x + y - 18 = 0$ です。

(3) 直線 $l'$ は与えられた直線と垂直なので、傾きは逆数の符号を反転させたものになります。つまり、傾きは $\frac{1}{3}$ です。点 $(5, 3)$ を通る傾き $\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、点傾斜式を用いて以下のように表されます。

$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 5)$

これを整理すると、

$y - 3 = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} + 3$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

両辺に3を掛けて整理すると、

$3y = x + 4$

したがって、直線 $l'$ の方程式は $x - 3y + 4 = 0$ です。

3. 最終的な答え

直線 $l$ の方程式: $3x + y - 18 = 0$

直線 $l'$ の方程式: $x - 3y + 4 = 0$