原点Oから出発して数直線上を移動する点Aを考える。点Aは、1個のサイコロを投げて3の倍数の目が出たら正の向きに3だけ移動し、それ以外の目が出たら負の向きに2だけ移動する。サイコロを9回投げた後の点Aの座標を$X$とし、3の倍数が出る回数を$Y$とする。確率変数$Y$の平均と分散、および$X$の平均と分散を求める問題。$X$と$Y$の関係式も求める。

1. 問題の内容

原点Oから出発して数直線上を移動する点Aを考える。点Aは、1個のサイコロを投げて3の倍数の目が出たら正の向きに3だけ移動し、それ以外の目が出たら負の向きに2だけ移動する。サイコロを9回投げた後の点Aの座標を$X$とし、3の倍数が出る回数を$Y$とする。確率変数$Y$の平均と分散、および$X$の平均と分散を求める問題。$X$と$Y$の関係式も求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数$Y$について

サイコロを1回投げたとき、3の倍数の目（3, 6）が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

よって、$Y$は二項分布$B(9, \frac{1}{3})$に従う。

二項分布の平均$E(Y)$と分散$V(Y)$は、それぞれ

$E(Y) = np$

$V(Y) = np(1-p)$

で与えられる。

ここで、$n = 9$, $p = \frac{1}{3}$なので、

$E(Y) = 9 \times \frac{1}{3} = 3$

$V(Y) = 9 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 2$

(2) 確率変数$X$と$Y$の関係について

3の倍数の目が出た回数が$Y$回であるとき、それ以外の目が出た回数は$9 - Y$回である。

よって、点Aの座標$X$は、

$X = 3Y - 2(9 - Y) = 3Y - 18 + 2Y = 5Y - 18$

と表せる。

(3) 確率変数$X$の平均と分散について

$X = 5Y - 18$であるから、

$E(X) = E(5Y - 18) = 5E(Y) - 18 = 5 \times 3 - 18 = 15 - 18 = -3$

$V(X) = V(5Y - 18) = 5^2 V(Y) = 25 \times 2 = 50$

3. 最終的な答え

$Y$の平均は3

$Y$の分散は2

$X = 5Y - 18$

$X$の平均は-3

$X$の分散は50