与えられた気温と水温のデータに基づいて、以下の処理を行う問題です。 (1) データの代表値（平均、中央値、分散、標準偏差）を計算する。 (2) 気温と水温のデータをグラフにプロットする。 (3) 気温と水温の相関関係を分析する（共分散、相関係数を求める）。 (4) 回帰式を求め、それを利用して気温から水温を予測する。

1. 問題の内容

与えられた気温と水温のデータに基づいて、以下の処理を行う問題です。

(1) データの代表値（平均、中央値、分散、標準偏差）を計算する。

(2) 気温と水温のデータをグラフにプロットする。

(3) 気温と水温の相関関係を分析する（共分散、相関係数を求める）。

(4) 回帰式を求め、それを利用して気温から水温を予測する。

2. 解き方の手順

(1) データの代表値

与えられたデータから、以下の値を計算します。

* 気温の平均値 ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{211.7}{12} = 17.65$

* 水温の平均値 ($\bar{y}$):

$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{188.4}{12} = 15.7$

* 気温の中央値：

データを小さい順に並べると、4.3, 9.8, 10.4, 12.5, 15.0, 18.6, 19.6, 21.0, 22.7, 24.6, 26.4, 27.0。

中央値は (18.6 + 19.6) / 2 = 19.1

* 水温の中央値：

データを小さい順に並べると、3.5, 7.0, 7.5, 9.5, 10.6, 15.5, 17.5, 20.0, 22.4, 24.0, 24.5, 27.2。

中央値は (15.5 + 17.5) / 2 = 16.5

* 気温の分散 ($s_x^2$):

$s_x^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{967.56}{12-1} = \frac{967.56}{11} = 87.96$

* 水温の分散 ($s_y^2$):

$s_y^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n-1} = \frac{529.36}{12-1} = \frac{529.36}{11} = 48.12$

* 気温の標準偏差 ($s_x$):

$s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{87.96} = 9.38$

* 水温の標準偏差 ($s_y$):

$s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{48.12} = 6.99$

(2) データの視覚化

グラフ用紙に、気温をx軸、水温をy軸としてデータをプロットします。

(3) データの相関

* 気温と水温の共分散 ($s_{xy}$):

$s_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1} = \frac{996.93}{12-1} = \frac{996.93}{11} = 90.63$

* 気温と水温の相関係数 ($r$):

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{90.63}{9.38 \times 6.99} = 0.949$

相関係数r = 0.949は1に近いため、正の相関が強く、相関の強さは正の相関を示します。

(4) 回帰式の作成と利用

回帰式を $y = ax + b$ とすると、$a = r * \frac{s_y}{s_x} = 0.949 * \frac{6.99}{9.38} = 0.707$ となる。

$b = \bar{y} - a * \bar{x} = 15.7 - 0.707 * 17.65 = 3.25$

したがって、回帰式は、$y = 0.707x + 3.25$

a) 気温が5℃のとき:

$y = 0.707 * 5 + 3.25 = 6.785$

b) グラフから気温が15℃のとき、水温は約14℃

3. 最終的な答え

(1) 代表値

平均(気温): 17.65

平均(水温): 15.7

中央値(気温): 19.10

中央値(水温): 16.50

分散(気温): 87.96

分散(水温): 48.12

標準偏差(気温): 9.38

標準偏差(水温): 6.99

(3) 相関関係

共分散: 90.63

相関係数: 0.949

相関の正負: 正の相関

相関の強さ: 正の相関

(4) 回帰式と予測値

回帰式: y = 0.707x + 3.25

気温が5℃のとき: 6.785℃

グラフから気温が15℃のとき: 約14℃