確率変数 $X$ の取りうる値の範囲が $0 \le x \le 2$ であり、確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) であるとき、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の取りうる値の範囲が $0 \le x \le 2$ であり、確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) であるとき、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E(X)$ を計算します。期待値は、確率密度関数を $x$ 倍して積分することで求められます。

$E(X) = \int_{0}^{2} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3} (2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

したがって、

$E(X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。分散は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で求められます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{2} x^3 dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} (2^4 - 0^4) = \frac{16}{4} = 4$

したがって、

$E(X^2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

次に、$(E(X))^2$ を計算します。

$(E(X))^2 = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}$

したがって、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{4}{3}$

$V(X) = \frac{2}{9}$