複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$が条件(A) arg $z_1$ = arg $z_2$ + $\frac{2}{3}\pi$, (B) $z_3$は$z_1$, $z_2$を通る直線に関して0と反対側にある, (C) $\triangle z_1z_2z_3$は正三角形を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$とするとき、$ \alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $ \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$となる実数$p, q, r, s$をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$が条件(A) arg $z_1$ = arg $z_2$ + $\frac{2}{3}\pi$, (B) $z_3$は$z_1$, $z_2$を通る直線に関して0と反対側にある, (C) $\triangle z_1z_2z_3$は正三角形を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$となる実数$p, q, r, s$をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

条件(A)より、arg $z_1$ - arg $z_2$ = $\frac{2}{3}\pi$。よって、$z_1$を$z_2$の周りに$\frac{2}{3}\pi$回転させたものが$z_1$である。$\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$である。

$z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$とすると、$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) r_1 e^{i\theta_1} = r_1 e^{i(\theta_1 + \frac{\pi}{3})}$

$\alpha z_2 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) r_2 e^{i\theta_2} = r_2 e^{i(\theta_2 + \frac{\pi}{3})}$

$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$ と $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$を満たす実数$p, q, r, s$を求める。

ここで条件(C)から、$\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形なので、$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$または$z_1 + \omega^2 z_2 + \omega z_3 = 0$が成立する。ここで$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{\frac{2\pi i}{3}}$である。

条件(B)より、$z_3 = k(\lambda z_1 + (1-\lambda) z_2)$と表せる。ただし$k < 0$。

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ と $\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$

$z_3$が2点$z_1, z_2$を結ぶ直線に関して原点と反対側にあることから、$z_1$, $z_2$, $z_3$が同一直線上にあり，$0$もその直線上にあるならば$|z_3| = |z_1 + z_2|$. $z_1 + z_2 + z_3 = 0$のとき。

(2)

$z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$を求める。

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{2}, q = 0, r = 0, s = \frac{1}{2}$

(2) $a = ?, b = ?$