質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、$x$ 軸と逆向きに一定の大きさ $F$ の力が作用している。 (1) 運動方程式を求める。 (2) 運動方程式の解となり得るものにチェックを入れる。 (3) 初期条件 $x(0) = 0$、$v(0) = 0$ を満たす解を求める。

## 問1

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、$x$ 軸と逆向きに一定の大きさ $F$ の力が作用している。

(1) 運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るものにチェックを入れる。

(3) 初期条件 $x(0) = 0$、$v(0) = 0$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ニュートンの運動方程式は、$ma = F$ である。ここで、$a$ は加速度であり、$\ddot{x}$ とも表される。力は $x$ 軸と逆向きに作用しているので、運動方程式は

$m\ddot{x} = -F$

となる。

(2)

運動方程式 $m\ddot{x} = -F$ を解く。まず、$\ddot{x} = -\frac{F}{m}$ である。

これを時間 $t$ で積分すると、

$\dot{x} = -\frac{F}{m}t + C_1$

となる。ここで、$C_1$ は積分定数。

さらに時間 $t$ で積分すると、

$x = -\frac{F}{2m}t^2 + C_1 t + C_2$

となる。ここで、$C_2$ は積分定数。

したがって、運動方程式の解となり得るものは、

$x = -\frac{F}{2m}t^2 + C_1 t + C_2$ の形をしている。

選択肢の中でこれに該当するのは、

$x = \frac{F}{2m}t^2+2$, $x=-\frac{F}{2m}t^2$, $x = -\frac{F}{2m}t^2 + t$である。

(3)

初期条件 $x(0) = 0$、$v(0) = 0$ を用いて、積分定数 $C_1$, $C_2$ を決定する。

$x = -\frac{F}{2m}t^2 + C_1 t + C_2$

$v = \dot{x} = -\frac{F}{m}t + C_1$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$0 = -\frac{F}{2m}(0)^2 + C_1 (0) + C_2$。したがって、$C_2 = 0$

初期条件 $v(0) = 0$ より、$0 = -\frac{F}{m}(0) + C_1$。したがって、$C_1 = 0$

よって、

$x = -\frac{F}{2m}t^2$

3. 最終的な答え

問1 (1) 2.0

問1 (2) 2.0, 4.0

問1 (3) 2.0

## 問2

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を運動しており、速度 $v$ に比例する力 $-bv$ が作用している。

(1) 運動方程式を求める。

(2) 運動方程式の解となり得るものにチェックを入れる。

(3) 初期条件 $v(0) = 1$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

運動方程式は、$ma = F$ である。ここで、$a$ は加速度であり、$\dot{v}$ とも表される。力は $-bv$ なので、運動方程式は

$m\dot{v} = -bv$

となる。

(2)

運動方程式 $m\dot{v} = -bv$ を解く。

$\frac{dv}{dt} = -\frac{b}{m}v$

$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m}dt$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{b}{m}dt$

$\ln|v| = -\frac{b}{m}t + C$

$v = e^{-\frac{b}{m}t + C} = e^C e^{-\frac{b}{m}t} = A e^{-\frac{b}{m}t}$

ここで、$A$ は積分定数。

したがって、運動方程式の解となり得るものは、$v = A e^{-\frac{b}{m}t}$ の形をしている。

選択肢の中でこれに該当するのは、$v = e^{-\frac{b}{m}t}$である。

(3)

初期条件 $v(0) = 1$ を用いて、積分定数 $A$ を決定する。

$v(0) = A e^{-\frac{b}{m}(0)} = A e^0 = A = 1$

よって、$A = 1$

したがって、

$v = e^{-\frac{b}{m}t}$

3. 最終的な答え

問2 (1) 2.0

問2 (2) 3.0

問2 (3) 3.0