1次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\mathrm{div} \, \mathbf{v} = 2$ となっていた。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。

1. 問題の内容

1次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\mathrm{div} \, \mathbf{v} = 2$ となっていた。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。

2. 解き方の手順

発散（ダイバージェンス）は、ベクトル場がどれだけ湧き出しまたは吸い込みがあるかを表す量です。1次元の場合、$\mathbf{v} = v_x(x) \mathbf{i}$ の発散は、

$\mathrm{div} \, \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}$

で与えられます。問題では、$\mathrm{div} \, \mathbf{v} = 2$ であると与えられています。つまり、

$\frac{\partial v_x}{\partial x} = 2$

この式は、速度 $v_x$ の $x$ に関する微分が 2 であることを意味します。言い換えれば、$x$ 方向に進むにつれて、$v_x$ が一定の割合で増加していることを示しています。

具体的には、$x$ が 1 増加すると、$v_x$ は 2 増加します。これは、その場所から $x$ 方向に離れるほど、速度ベクトル $\mathbf{v}$ の大きさが大きくなることを意味します。つまり、その場所が速度の「湧き出し源」になっているということです。

3. 最終的な答え

その場所から $x$ 方向に離れるほど、速度ベクトル $\mathbf{v}$ の大きさが増加している。具体的には、$x$ が 1 増えるごとに、$v_x$ が 2 増加する。