問題は、式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から、式(10) $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは 式(11) $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示すことです。

1. 問題の内容

問題は、式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から、式(10) $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは 式(11) $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示すことです。

2. 解き方の手順

まず、式(10)を変形します。

$\cos(\omega t + \delta)$ に加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ を適用すると、

$$x = D \cos(\omega t + \delta) = D (\cos(\omega t) \cos \delta - \sin(\omega t) \sin \delta) = (D \cos \delta) \cos(\omega t) - (D \sin \delta) \sin(\omega t)$$

式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ と比較すると、以下のようになります。

$A = D \cos \delta$

$B = - D \sin \delta$

両式を2乗して加えると、

$A^2 + B^2 = (D \cos \delta)^2 + (- D \sin \delta)^2 = D^2 (\cos^2 \delta + \sin^2 \delta) = D^2$

したがって、$D = \sqrt{A^2 + B^2}$ となります。

また、$A = D \cos \delta$ と $B = -D \sin \delta$ から、$\frac{B}{A} = -\tan \delta$ となり、$\delta = - \arctan \frac{B}{A}$ となります。

まとめると、式(9)から式(10)への変換は、

$D = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\delta = - \arctan \frac{B}{A}$

となります。

次に、式(11)を変形します。

$\sin(\omega t + \phi)$ に加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を適用すると、

$$x = E \sin(\omega t + \phi) = E (\sin(\omega t) \cos \phi + \cos(\omega t) \sin \phi) = (E \sin \phi) \cos(\omega t) + (E \cos \phi) \sin(\omega t)$$

式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ と比較すると、以下のようになります。

$A = E \sin \phi$

$B = E \cos \phi$

両式を2乗して加えると、

$A^2 + B^2 = (E \sin \phi)^2 + (E \cos \phi)^2 = E^2 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) = E^2$

したがって、$E = \sqrt{A^2 + B^2}$ となります。

また、$A = E \sin \phi$ と $B = E \cos \phi$ から、$\frac{A}{B} = \tan \phi$ となり、$\phi = \arctan \frac{A}{B}$ となります。

まとめると、式(9)から式(11)への変換は、

$E = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\phi = \arctan \frac{A}{B}$

となります。

3. 最終的な答え

式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から式(10) $x = D \cos(\omega t + \delta)$ への変換は、

$D = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\delta = - \arctan \frac{B}{A}$

式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から式(11) $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換は、

$E = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\phi = \arctan \frac{A}{B}$