与えられた条件から、直線の媒介変数表示を求める問題です。 (1) 点 $(1,4)$ を通り、方向ベクトルが $(2,3)$ の直線 (2) 点 $(3,5)$ を通り、方向ベクトルが $(4,0)$ の直線 (3) 2点 $A(2,-2), B(-1,3)$ を通る直線

1. 問題の内容

与えられた条件から、直線の媒介変数表示を求める問題です。

(1) 点 $(1,4)$ を通り、方向ベクトルが $(2,3)$ の直線

(2) 点 $(3,5)$ を通り、方向ベクトルが $(4,0)$ の直線

(3) 2点 $A(2,-2), B(-1,3)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 点 $P_0(x_0, y_0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a, b)$ の直線は、媒介変数 $t$ を用いて、

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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

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と表されます。

(1) 点 $(1,4)$ を通り、方向ベクトルが $(2,3)$ の直線なので、

$$$$

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ 4+3t \end{pmatrix}

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よって、$x = 1+2t, y = 4+3t$ となります。

(2) 点 $(3,5)$ を通り、方向ベクトルが $(4,0)$ の直線なので、

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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4t \\ 5 \end{pmatrix}

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よって、$x = 3+4t, y = 5$ となります。

(3) 2点 $A(2,-2), B(-1,3)$ を通る直線は、点 $A$ を通り、方向ベクトルが $\vec{AB}$ の直線と考えることができます。

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

なので、

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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-3t \\ -2+5t \end{pmatrix}

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よって、$x = 2-3t, y = -2+5t$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1+2t, y = 4+3t$

(2) $x = 3+4t, y = 5$

(3) $x = 2-3t, y = -2+5t$