長方形ABCDにおいて、ADとBCの中点をそれぞれE,Fとする。対角線ACと線分BE, FDとの交点をそれぞれG,Hとし、線分AFとBEとの交点をIとする。AB=10cm, BC=12cmのとき、以下の三角形の面積を求める。 (1) △AHD (2) △AFH (3) △AIG

## 問題43

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、ADとBCの中点をそれぞれE,Fとする。対角線ACと線分BE, FDとの交点をそれぞれG,Hとし、線分AFとBEとの交点をIとする。AB=10cm, BC=12cmのとき、以下の三角形の面積を求める。

(1) △AHD

(2) △AFH

(3) △AIG

2. 解き方の手順

(1) △AHDについて

* AD = BC = 12cm

* 長方形なので、∠ADC = 90度

* FDは長方形ABCDの対角線ではないので、HはFDの中点ではない。

* FDとACの交点Hについて考える。EとFはADとBCの中点なのでAE = ED = 6cm, BF = FC = 6cm。

* △ADFにおいて、線分AHは中線ではないので、面積を単純に半分にできない。

* △ADCの面積は、$1/2 * AD * CD = 1/2 * 12 * 10 = 60$

* HはFD上の点である。FDの方程式を求める。D(10,12), F(0,6)を通る直線の式は、$y=3/5x+6$

* ACの方程式を求める。A(0,12), C(10,0)を通る直線の式は、$y=-6/5x+12$

* $3/5x+6=-6/5x+12$ を解くと、$9/5x = 6$なので、$x=10/3$

* $y=-6/5*10/3+12=-4+12=8$

* よってH(10/3, 8)。

* AHの長さは難しい。高さはADからHのy座標を引いた値なので、12-8=4

* よって△AHDの面積は、$1/2 * 10 * 4 = 20$

(2) △AFHについて

* AFの長さは、三平方の定理より、$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$

* H(10/3, 8)なので、△AFHの面積を求めるためには、点Hと直線AFの距離を求める必要がある。

* AFの直線の方程式は、$y=6/10x+12$すなわち$y=3/5x+12$。変形すると$3x-5y+60=0$

* H(10/3, 8)と直線$3x-5y+60=0$の距離は、$|3*(10/3)-5*8+60|/\sqrt{3^2+5^2}=|10-40+60|/\sqrt{34}=30/\sqrt{34}$

* したがって、△AFHの面積は、$1/2*2\sqrt{34}*(30/\sqrt{34})=30$

(3) △AIGについて

* IはAFとBEの交点である。E(10, 6)なので、BEの方程式は、$y=-3/5x+12$

* AFの方程式は、$y=3/5x+12$

* 連立方程式を解くと、$3/5x+12=-3/5x+12$。$6/5x=0$となり、$x=0$

* 従ってIはA(0,12)と一致してしまう。従って△AIGの面積は

0.

3. 最終的な答え

(1) △AHDの面積: 20 $cm^2$

(2) △AFHの面積: 30 $cm^2$

(3) △AIGの面積: 0 $cm^2$

## 問題44

1. 問題の内容

正八面体ABCDEFを、面BCDEに平行な平面で切り、正四角錐Pと、正八面体からPを除いた立体Qに分ける。このとき、PとQの体積の比を求める。

2. 解き方の手順

* 正八面体は、正四角錐を2つ底面で貼り合わせた形とみなせる。

* 切り口はBCDEに平行なので、小さい正四角錐Pも元の正四角錐と相似になる。

* 図から、Pの高さは元の正四角錐の高さの半分になっている。

* 相似比が1:2なので、体積比は$1^3:2^3 = 1:8$となる。

* したがって、正四角錐Pの体積を1とすると、正八面体の体積は2 * 8 = 16となる。

* Qの体積は16-1=15となる。

* よって、PとQの体積の比は1:15

3. 最終的な答え

P:Q = 1:15