ベクトル場 $A = 3x\hat{i} + xy^2\hat{j}$ が与えられたとき、その発散 (divergence) $div A$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

ベクトル場 $A = 3x\hat{i} + xy^2\hat{j}$ が与えられたとき、その発散 (divergence) $div A$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル場 $A = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$ の発散は、次のように定義されます。

$div A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}$

ここで、$A_x = 3x$ であり、$A_y = xy^2$ です。

まず、$A_x$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial (3x)}{\partial x} = 3$

次に、$A_y$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial (xy^2)}{\partial y} = 2xy$

したがって、$div A$ は次のようになります。

$div A = 3 + 2xy$

3. 最終的な答え

$div A = 3 + 2xy$