問題は、スカラー三重積の性質を示すものです。 $A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$ この等式が成り立つことを示し、この積がスカラー三重積であることを理解することが目的です。

1. 問題の内容

問題は、スカラー三重積の性質を示すものです。

$A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$

この等式が成り立つことを示し、この積がスカラー三重積であることを理解することが目的です。

2. 解き方の手順

まず、$A = (a_1, a_2, a_3)$, $B = (b_1, b_2, b_3)$, $C = (c_1, c_2, c_3)$ とします。

ステップ1: $B \times C$ を計算します。

$B \times C = (b_2c_3 - b_3c_2, b_3c_1 - b_1c_3, b_1c_2 - b_2c_1)$

ステップ2: $A \cdot (B \times C)$ を計算します。

$A \cdot (B \times C) = a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1)$

$= a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_3c_1 - a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1$

ステップ3: $A \times B$ を計算します。

$A \times B = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

ステップ4: $(A \times B) \cdot C$ を計算します。

$(A \times B) \cdot C = (a_2b_3 - a_3b_2)c_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)c_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)c_3$

$= a_2b_3c_1 - a_3b_2c_1 + a_3b_1c_2 - a_1b_3c_2 + a_1b_2c_3 - a_2b_1c_3$

$= a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_3c_1 - a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1$

ステップ5: $A \cdot (B \times C)$ と $(A \times B) \cdot C$ の結果を比較します。

ステップ2とステップ4の結果が同じであることがわかります。

3. 最終的な答え

$A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$

スカラー三重積は、ベクトルの並び順を巡回置換しても値が変わらないという性質を持ちます。つまり、

$A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)$

また、行列式で表現すると、

$A \cdot (B \times C) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$

となります。