問題183の(1)と(2)を解きます。 (1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ が重解を持つときの $m$ の値を求め、その重解を求めます。 (2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$ が重解を持つときの $m$ の値を求め、その重解を求めます。

1. 問題の内容

問題183の(1)と(2)を解きます。

(1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ が重解を持つときの $m$ の値を求め、その重解を求めます。

(2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$ が重解を持つときの $m$ の値を求め、その重解を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D=0$ となることです。

(1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ の場合、 $a = 1$, $b = 2$, $c = m - 3$ なので、

$D = 2^2 - 4(1)(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m$

$D = 0$ となるのは $16 - 4m = 0$ のときなので、$m = 4$。

このとき、方程式は $x^2 + 2x + 4 - 3 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$ となるので、重解は $x = -1$。

(2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$ の場合、$a = 1$, $b = 4m$, $c = 25$ なので、

$D = (4m)^2 - 4(1)(25) = 16m^2 - 100$

$D = 0$ となるのは $16m^2 - 100 = 0$ のときなので、$16m^2 = 100$。

$m^2 = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$ より、$m = \pm \frac{5}{2}$。

$m = \frac{5}{2}$ のとき、方程式は $x^2 + 4(\frac{5}{2})x + 25 = x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 = 0$ となるので、重解は $x = -5$。

$m = -\frac{5}{2}$ のとき、方程式は $x^2 + 4(-\frac{5}{2})x + 25 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0$ となるので、重解は $x = 5$。

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$, 重解 $x = -1$

(2) $m = \frac{5}{2}$ のとき、重解 $x = -5$。$m = -\frac{5}{2}$ のとき、重解 $x = 5$。