(2) $I=3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$, $x=\sin\theta + \cos\theta$ とする。このとき、$I$ を $x$ の式で表し、$x$ の値の範囲を求め、$I$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(2) $I=3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta$, $x=\sin\theta + \cos\theta$ とする。このとき、$I$ を $x$ の式で表し、$x$ の値の範囲を求め、$I$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = \sin\theta + \cos\theta$ より、両辺を2乗すると

$x^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

よって、$\sin\theta\cos\theta = \frac{x^2-1}{2}$

$I = 3\sin\theta\cos\theta - (\sin\theta + \cos\theta) = 3\cdot\frac{x^2-1}{2} - x = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$

(2) $x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$-1 \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

(3) $I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{14}{6} = \frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{7}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$I$ は最小値 $-\frac{7}{3}$ をとる。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$I$ は最大値 $\frac{3}{2}(-\sqrt{2} - \frac{1}{3})^2 - \frac{7}{3} = \frac{3}{2}(2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}) - \frac{7}{3} = 3 + \sqrt{2} + \frac{1}{6} - \frac{14}{6} = 3 + \sqrt{2} - \frac{13}{6} = \frac{5}{6} + \sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

$I = \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$

$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

最大値: $\frac{5}{6} + \sqrt{2}$

最小値: $-\frac{7}{3}$