(1) $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを求める。 (2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを求める。

(2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ を示す。

両辺の2乗の差を考える。

$(\frac{a+b}{2})^2 - (\sqrt{ab})^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4} - ab = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4} = \frac{a^2-2ab+b^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{4}$

$a$と$b$は実数なので、$(a-b)^2 \geq 0$。したがって、$\frac{(a-b)^2}{4} \geq 0$。

つまり、$(\frac{a+b}{2})^2 - (\sqrt{ab})^2 \geq 0$。

$\frac{a+b}{2} \geq 0$ かつ $\sqrt{ab} \geq 0$ なので、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。

等号が成り立つのは、$(a-b)^2 = 0$ のとき、つまり $a = b$ のときである。

(2)

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ を示す。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 \geq 0$ を示せばよい。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$

$a > 0$, $b > 0$ より、$ab > 0$ であり、$(a-b)^2 \geq 0$ なので、$\frac{(a-b)^2}{ab} \geq 0$。

したがって、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$。

等号が成り立つのは、$a=b$のとき。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。等号成立は $a=b$ のとき。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$。