1, 2, 3, 4, 5 の数字を用いて、1を3個、2を1個、3を3個、4を1個、5を2個使い、10桁の整数を作るとき、整数は何個できるか。

## 問題6 (2)

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の数字を用いて、1を3個、2を1個、3を3個、4を1個、5を2個使い、10桁の整数を作るとき、整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

10桁の数字の並べ方を考えます。まず、10個の場所から1が3個入る場所を選ぶ組み合わせは $_{10}C_3$ 通りです。

次に、残りの7個の場所から2が1個入る場所を選ぶ組み合わせは $_{7}C_1$ 通りです。

さらに、残りの6個の場所から3が3個入る場所を選ぶ組み合わせは $_{6}C_3$ 通りです。

次に、残りの3個の場所から4が1個入る場所を選ぶ組み合わせは $_{3}C_1$ 通りです。

最後に、残りの2個の場所から5が2個入る場所を選ぶ組み合わせは $_{2}C_2$ 通りです。

これらの組み合わせの積が求める場合の数になります。

計算すると、

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

$_{7}C_1 = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_{3}C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

$_{2}C_2 = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、求める場合の数は、

$120 \times 7 \times 20 \times 3 \times 1 = 50400$ 通りです。

3. 最終的な答え

50400 通り