問題は、スカラー場 $\phi$ の勾配が $\nabla \phi = 2\hat{i}$ であるとはどういうことか、という問いです。ここで、$\hat{i}$ はx軸方向の単位ベクトルを表します。

1. 問題の内容

問題は、スカラー場 $\phi$ の勾配が $\nabla \phi = 2\hat{i}$ であるとはどういうことか、という問いです。ここで、$\hat{i}$ はx軸方向の単位ベクトルを表します。

2. 解き方の手順

スカラー場 $\phi(x, y, z)$ の勾配（gradient）は、そのスカラー場が最も急激に変化する方向と、その変化率を表すベクトル場です。デカルト座標系では、勾配は次のように定義されます。

$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k}$

ここで、$\frac{\partial \phi}{\partial x}$、$\frac{\partial \phi}{\partial y}$、$\frac{\partial \phi}{\partial z}$ はそれぞれ $\phi$ の x、y、z 方向への偏微分であり、$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$ はそれぞれ x、y、z 軸方向の単位ベクトルです。

問題文では、$\nabla \phi = 2\hat{i}$ と与えられています。これを上記の勾配の定義と比較すると、次のようになります。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 0$

これは、スカラー場 $\phi$ は x 方向にのみ変化し、その変化率は 2 であることを意味します。y 軸方向と z 軸方向には変化しないことを意味します。したがって、$\phi$ は $x$ のみの関数となり、$x$で微分すると2になるような関数である必要があります。そのような関数の例は、$\phi(x) = 2x + C$ です。ここで、$C$は任意の定数です。

3. 最終的な答え

$\nabla \phi = 2\hat{i}$ であるとは、スカラー場 $\phi$ は x 軸方向にのみ変化し、その変化率が 2 であることを意味します。$\phi$ は $x$ のみの関数で表され、$\phi(x) = 2x + C$ のように表されます（$C$は定数）。