初項 $a_1=2$ であり、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1=2$ であり、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ は、階差数列の問題として解くことができます。

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n$ であり、問題文より $b_n = 6n$ となります。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 6k = 6 \sum_{k=1}^{n-1} k = 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3n(n-1) = 3n^2 - 3n$

したがって、

$a_n = 2 + 3n^2 - 3n = 3n^2 - 3n + 2$

ここで、$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$ となり、問題文の条件 $a_1 = 2$ と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = 3n^2 - 3n + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 2$