(1) 関数 $y = \frac{3x-2}{x+1}$ ($x > -1$) の逆関数を求める。 (2) 定積分 $\int_{3}^{6} \frac{x}{\sqrt{7-x}}dx$ を計算する。 (3) 定積分 $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を計算する。 (4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{3x-2}{x+1}$ ($x > -1$) の逆関数を求める。

(2) 定積分 $\int_{3}^{6} \frac{x}{\sqrt{7-x}}dx$ を計算する。

(3) 定積分 $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を計算する。

(4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数を求める。

$y = \frac{3x-2}{x+1}$ を $x$ について解く。

$y(x+1) = 3x-2$

$yx + y = 3x - 2$

$yx - 3x = -2 - y$

$x(y-3) = -2-y$

$x = \frac{-y-2}{y-3} = \frac{y+2}{3-y}$

$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \frac{x+2}{3-x} = -\frac{x+2}{x-3} = -\frac{x-3+5}{x-3} = -\left( 1+\frac{5}{x-3} \right) = -1 - \frac{5}{x-3} = -\frac{x+2}{x-3}$

$y = \frac{x+2}{3-x}$

ここで $x > -1$ より $y > 3$.

逆関数を求める際、定義域も入れ替わるので $x < 3$ となる。

(2) 定積分 $\int_{3}^{6} \frac{x}{\sqrt{7-x}}dx$ を計算する。

$t = 7-x$ と置換する。$x = 7-t$ であり、$dx = -dt$。

積分範囲は $x=3$ のとき $t = 4$, $x=6$ のとき $t = 1$。

$\int_{3}^{6} \frac{x}{\sqrt{7-x}}dx = \int_{4}^{1} \frac{7-t}{\sqrt{t}} (-dt) = \int_{1}^{4} \frac{7-t}{\sqrt{t}} dt = \int_{1}^{4} (7t^{-1/2} - t^{1/2}) dt$

$= \left[ 7(2t^{1/2}) - \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ 14\sqrt{t} - \frac{2}{3} t\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left( 14\sqrt{4} - \frac{2}{3}(4)\sqrt{4} \right) - \left( 14\sqrt{1} - \frac{2}{3}(1)\sqrt{1} \right)$

$= \left( 28 - \frac{16}{3} \right) - \left( 14 - \frac{2}{3} \right) = 28 - \frac{16}{3} - 14 + \frac{2}{3} = 14 - \frac{14}{3} = \frac{42-14}{3} = \frac{28}{3}$.

(3) 定積分 $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を計算する。

部分積分を行う。

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = \left[ x (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx = e (\log e)^2 - 1 (\log 1)^2 - 2 \int_{1}^{e} \log x dx$

$= e - 2 \int_{1}^{e} \log x dx = e - 2 [x \log x - x]_{1}^{e} = e - 2 [(e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)] = e - 2 [(e-e) - (0-1)] = e - 2 (1) = e-2$.

(4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ を計算する。

区分求積法を用いる。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{k/n}}$

$= \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{1} x^{-1/2} dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2$.

3. 最終的な答え

(1) 1: 2, 2: 3

(2) 4: 2, 5: 8, 6: 3

(3) 7: 2

(4) 8: 2