平行四辺形ABCDにおいて、Mは辺ADの中点、Nは辺BCの中点とする。対角線の交点をOとするとき、三角形BMOと面積が等しい三角形を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Mは辺ADの中点、Nは辺BCの中点とする。対角線の交点をOとするとき、三角形BMOと面積が等しい三角形を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形BMOの面積を考えます。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、BOは対角線BDの半分です。つまり、$BO = \frac{1}{2}BD$です。また、MはADの中点なので、$AM = \frac{1}{2}AD$です。

ここで、平行四辺形ABCDの面積をSとすると、三角形ABDの面積は$\frac{1}{2}S$となります。

また、三角形BMOの面積は、三角形BMDの面積の$\frac{1}{2}$倍となります（なぜならBOはBDの半分だから）。

また、三角形BMDの面積は、三角形ABDの面積の$\frac{1}{2}$倍となります（なぜならMはADの中点だから）。

したがって、三角形BMOの面積は、平行四辺形ABCDの面積の$\frac{1}{8}$倍となります。

$S_{\triangle BMO} = \frac{1}{8}S$

次に、選択肢の三角形の面積を検討します。

1. 三角形ANC: $S_{\triangle ANC} = \frac{1}{4}S$

2. 三角形AOD: $S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}S$

3. 三角形ABO: $S_{\triangle ABO} = \frac{1}{4}S$

4. 三角形NOC: $S_{\triangle NOC} = \frac{1}{8}S$

5. 三角形MNC: $S_{\triangle MNC} = \frac{1}{8}S$

三角形NOCと三角形MNCは、三角形BMOと面積が等しくなります。しかし、平行四辺形ABCDの面積をSとすると、三角形BMOの面積は平行四辺形の面積の1/8になることを考慮すると、四角形ABCDの面積をSとすると、$\triangle AOD = \triangle ABO = \triangle BCO = \triangle CDO = \frac{1}{4}S$です。

平行四辺形の対角線は互いの中点で交わるため、$AO=OC$かつ$BO=OD$です。

したがって、$\triangle BMO$と$\triangle DMO$は底辺を$MO$としたとき高さが等しいので、面積は等しくなります。

$\triangle DMO$と$\triangle NOC$は錯角が等しく、$\triangle DMO \equiv \triangle BNO$より、$\triangle DMO$と$\triangle BON$の面積は等しくなります。

平行四辺形の対角線は互いの中点で交わることから、$\triangle NOC = \triangle AOD$とはなりません。

$\triangle NOC = \frac{1}{8}S$

三角形MNCの面積は、平行四辺形の面積の1/8であり、$S_{\triangle MNC} = \frac{1}{8}S$です。

$\triangle BMO$と$\triangle MNC$は面積が等しいと言えます。

3. 最終的な答え

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