（1）図において、$\angle BAC = \theta$, $AB = a$とするとき、$BC$と$CH$の長さを求める問題です。 （2）$\tan \theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

（1）図において、$\angle BAC = \theta$, $AB = a$とするとき、$BC$と$CH$の長さを求める問題です。

（2）$\tan \theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

（1）

$BC$の長さについて：

$\tan \theta = \frac{BC}{AB}$なので、$BC = AB \tan \theta = a \tan \theta$。したがって、$BC$は選択肢の3番、$a \tan \theta$となります。よって、$BC= 1$となります。

$CH$の長さについて：

$\cos \theta = \frac{AH}{AB}$なので、$AH = AB \cos \theta = a \cos \theta$。したがって、$AH=a\cos\theta$となります。また、$AC = \frac{BC}{\sin \theta} = \frac{a \tan \theta}{\sin \theta}$となります。

$CH = AC - AH = \frac{a \tan \theta}{\sin \theta} - a \cos \theta = \frac{a \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\sin \theta} - a \cos \theta = \frac{a}{\cos \theta} - a \cos \theta = a \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos \theta} = a \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = a \sin \theta \tan \theta$。したがって、$CH$は選択肢の5番、$a \sin \theta \tan \theta$となります。よって、$CH = 2$となります。

（2）

$\tan \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$を求めます。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{9} + 1} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$。

$0^\circ < \theta < 90^\circ$なので、$\cos \theta > 0$。よって、$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$。

$\cos\theta$は選択肢の（4）。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$。

$0^\circ < \theta < 90^\circ$なので、$\sin \theta > 0$。よって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。

$\sin\theta$は選択肢の（2）。

3. 最終的な答え

（1）$BC = a \tan \theta$, $CH = a \sin \theta \tan \theta$

（2）$\cos \theta = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$