整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが3、$x+3$ で割ったときの余りが-7であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが3、$x+3$ で割ったときの余りが-7であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(2) = 3$、$P(-3) = -7$ がわかります。

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りは、一般に $ax + b$ と表せます。なぜなら、割る式が2次式なので、余りは1次式以下になるからです。

このとき、$P(x)$ はある整式 $Q(x)$ を用いて次のように表せます。

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$

これに $x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b$

$P(2) = 3$ より、

$2a + b = 3$ ...(1)

次に、$x=-3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) - 3a + b = -3a + b$

$P(-3) = -7$ より、

$-3a + b = -7$ ...(2)

(1)式と(2)式から、$a$ と $b$ を求める連立方程式を解きます。

(1) - (2) より、

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を (1) に代入すると、

$2(2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

したがって、余りは $ax+b = 2x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$2x - 1$