(5) 多項式 $x^2 + x - 3$ で割ると、商が $x + 2$、余りが $x$ となる多項式を求める問題。 (6) 多項式 $x^4 - ax^2 + 2x + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(5) 多項式 $x^2 + x - 3$ で割ると、商が $x + 2$、余りが $x$ となる多項式を求める問題。

(6) 多項式 $x^4 - ax^2 + 2x + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(5) 求める多項式を $P(x)$ とすると、割る多項式を $A(x)$、商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ として、

$P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$ が成り立つ。

今回の問題では $A(x) = x^2 + x - 3$, $Q(x) = x + 2$, $R(x) = x$ なので、

$P(x) = (x^2 + x - 3)(x + 2) + x$ を計算することで求める。

$P(x) = (x^2 + x - 3)(x + 2) + x = x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x - 3x - 6 + x = x^3 + 3x^2 + 0x - 6 = x^3 + 3x^2 - 6$

(6) $x^4 - ax^2 + 2x + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるので、商を $Q(x)$ とすると、

$x^4 - ax^2 + 2x + b = (x^2 - 2x + 2)Q(x)$ となる。

$x^4$ の項に着目すると、$Q(x) = x^2 + cx + d$ と表せる。

$x^4 - ax^2 + 2x + b = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 - 2x^3 - 2cx^2 - 2dx + 2x^2 + 2cx + 2d = x^4 + (c-2)x^3 + (d-2c+2)x^2 + (2c-2d)x + 2d$

係数を比較すると、

$x^3$ の項： $c - 2 = 0$ より $c = 2$

$x^2$ の項： $d - 2c + 2 = -a$ より $d - 4 + 2 = -a$ より $d - 2 = -a$

$x$ の項： $2c - 2d = 2$ より $4 - 2d = 2$ より $2d = 2$ より $d = 1$

定数項： $2d = b$ より $2 = b$

$d - 2 = -a$ に $d = 1$ を代入すると、$1 - 2 = -a$ より $-1 = -a$ より $a = 1$

したがって、$a = 1$, $b = 2$

3. 最終的な答え

(5) $x^3 + 3x^2 - 6$

(6) $a = 1, b = 2$