1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを$\omega$とする。このとき、$\omega^8 + \omega^4 + 1$の値を求めよ。

1. 問題の内容

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを$\omega$とする。このとき、$\omega^8 + \omega^4 + 1$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$は1の3乗根なので、$\omega^3 = 1$が成り立つ。また、$\omega$は虚数であるから、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$が成り立つ。

$\omega^8$を計算する。$\omega^8 = \omega^{3 \times 2 + 2} = (\omega^3)^2 \times \omega^2 = 1^2 \times \omega^2 = \omega^2$

$\omega^4$を計算する。$\omega^4 = \omega^{3 \times 1 + 1} = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$

したがって、

$\omega^8 + \omega^4 + 1 = \omega^2 + \omega + 1$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$であるから、

$\omega^8 + \omega^4 + 1 = 0$

3. 最終的な答え

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