$x$ の多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を、$x$ の多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求める。さらに、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B$ の値と、$A = -1$ となるときの整数 $m, n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ の多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を、$x$ の多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求める。さらに、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B$ の値と、$A = -1$ となるときの整数 $m, n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ を $B$ で割る。

$x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を $x^2 - 2x - 1$ で割ると、

商は $x + (m + 2)$

余りは $(2m + n + 3)x + (3m + n + 2)$

したがって、$Q = x + (m + 2)$, $R = (2m + n + 3)x + (3m + n + 2)$.

(2) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B$ の値を求める。

$B = x^2 - 2x - 1$ に $x = 1 + \sqrt{2}$ を代入すると、

$B = (1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$.

(3) $A = -1$ となるときの $m, n$ の値を求める。

$A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ で、$A = BQ + R$ であり、$A = -1$ であるから、

$-1 = BQ + R$.

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B = 0$ であるから、

$-1 = R$.

$R = (2m + n + 3)x + (3m + n + 2) = (2m + n + 3)(1 + \sqrt{2}) + (3m + n + 2) = 0$,

$R = (2m+n+3)x+(3m+n+2)=-1$.

$(2m + n + 3)(1 + \sqrt{2}) + (3m + n + 2) = -1$.

$(2m + n + 3) + (2m + n + 3)\sqrt{2} + (3m + n + 2) = -1$.

$(5m + 2n + 5) + (2m + n + 3)\sqrt{2} = -1$.

$(5m + 2n + 5) + (2m + n + 3)\sqrt{2} + 1=0$.

$5m + 2n + 6 = 0$ かつ $2m + n + 3 = 0$.

$n = -2m - 3$ を $5m + 2n + 6 = 0$ に代入すると、

$5m + 2(-2m - 3) + 6 = 0$.

$5m - 4m - 6 + 6 = 0$.

$m = 0$.

$n = -2m - 3 = -2(0) - 3 = -3$.

したがって、$m = 0$, $n = -3$.

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3

ウ：2

エ：0

オ：0

カキ：-3