2次関数 $y = x^2 - 4ax + 5a^2 - a - 6$ のグラフを $G$ とする。 (1) グラフ $G$ の頂点の座標を $a$ を用いて表しなさい。 (2) グラフ $G$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めなさい。 (3) $a$ が (2) の範囲を満たす自然数であるとき、$G$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4ax + 5a^2 - a - 6$ のグラフを $G$ とする。

(1) グラフ $G$ の頂点の座標を $a$ を用いて表しなさい。

(2) グラフ $G$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めなさい。

(3) $a$ が (2) の範囲を満たす自然数であるとき、$G$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax + 5a^2 - a - 6 = (x - 2a)^2 - (a^2 - a + 6)$

よって、頂点の座標は $(2a, a^2 - a - 6)$ です。

(2) グラフが $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、

(i) 頂点の $y$ 座標が負であること: $a^2 - a - 6 < 0$

(ii) 軸が $x > 0$ の範囲にあること: $2a > 0$

(iii) $f(0) > 0$ であること

(i) $a^2 - a - 6 < 0$ より、 $(a - 3)(a + 2) < 0$。よって、 $-2 < a < 3$。

(ii) $2a > 0$ より、 $a > 0$。

(iii) $f(0) = 5a^2 - a - 6 > 0$ より、 $(5a + 6)(a - 1) > 0$。よって、$a < -\frac{6}{5}, 1 < a$。

(i), (ii), (iii) の共通範囲は、$1 < a < 3$。

(3) (2) の範囲を満たす自然数は、$a = 2$ です。

このとき、$y = x^2 - 8x + 12$。

$x^2 - 8x + 12 = 0$ を解くと、 $(x - 2)(x - 6) = 0$。

よって、$x = 2, 6$。

したがって、グラフ $G$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さは、$6 - 2 = 4$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2a, a^2 - a - 6)$

(2) $a$ の範囲: $1 < a < 3$

(3) 線分の長さ: $4$