与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が点$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る。 (2) 軸が直線$x=2$で、2点$(-1, 5), (1, -11)$を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が点$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る。

(2) 軸が直線$x=2$で、2点$(-1, 5), (1, -11)$を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形で表し、頂点の座標を代入します。次に、与えられた点を通る条件から $a$ の値を求め、2次関数を決定します。

まず、頂点が$(-2, 4)$なので、$y = a(x + 2)^2 + 4$ と表せます。

次に、点$(-4, 2)$を通ることから、$x = -4, y = 2$ を代入します。

$2 = a(-4 + 2)^2 + 4$

$2 = a(-2)^2 + 4$

$2 = 4a + 4$

$4a = -2$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 4$

これを展開して、$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) 軸が直線 $x=2$ なので、$y = a(x - 2)^2 + q$ と表せます。2点 $(-1, 5)$ と $(1, -11)$ を通ることから、$x = -1, y = 5$ と $x = 1, y = -11$ を代入し、連立方程式を解いて $a$ と $q$ の値を求めます。

$5 = a(-1 - 2)^2 + q$

$5 = 9a + q$ ...(1)

$-11 = a(1 - 2)^2 + q$

$-11 = a + q$ ...(2)

(1) - (2) より、

$5 - (-11) = 9a + q - (a + q)$

$16 = 8a$

$a = 2$

(2) に $a = 2$ を代入すると、

$-11 = 2 + q$

$q = -13$

したがって、$y = 2(x - 2)^2 - 13$

これを展開して、$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 13$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 13$

$y = 2x^2 - 8x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) $y = 2x^2 - 8x - 5$