与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2 + x - 12$ (2) $2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x - 7y + 6$ (3) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2 + x - 12$

(2) $2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x - 7y + 6$

(3) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72$

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 + x - 12$ の因数分解

たすき掛けを利用します。

$6x^2 + x - 12 = (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ となる $a, b, c, d$ を探します。

$ac = 6$、$bd = -12$、$ad+bc = 1$ となる組み合わせを見つけます。

例えば、$a=2, c=3$ とすると、$2d+3b = 1$、$bd = -12$ となります。

$b= -3, d=4$ とすると、$2(4)+3(-3) = 8-9 = -1$ となり、$2d+3b=1$にならないため、不適です。

$b=4, d=-3$ とすると、$2(-3)+3(4) = -6+12 = 6$ となり、$2d+3b=1$にならないため、不適です。

次に、$a=3, c=2$ とすると、$3d+2b=1$, $bd = -12$ となります。

$b=-4, d=3$ とすると、$3(3)+2(-4) = 9-8 = 1$ となり条件を満たします。

したがって、$6x^2 + x - 12 = (3x - 4)(2x + 3)$ となります。

ここで、$2x+3 = 2x + (-(-3))$, $3x-4 = 3x-4$であるため、解答欄を考慮すると、$6x^2+x-12 = (2x+3)(3x-4)$となります。

(2) $2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x - 7y + 6$ の因数分解

$x$ について整理すると、

$2x^2 + (7-5y)x - 3y^2 - 7y + 6$

$2x^2 + (7-5y)x - (3y^2 + 7y - 6)$

$2x^2 + (7-5y)x - (3y - 2)(y + 3)$

$(x + Ay + B)(2x + Cy + D) = 2x^2 + (C+2A)xy + (D+2B)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$ となる $A,B,C,D$ を探します。

$AC=-3, BD=6, C+2A=-5, D+2B = 7, AD+BC = -7$

与えられた形から、$x - 5y + 6$ と $7x + y + 8$ の形を探します。

$x - 3y + 2)(2x + y + 3) = 2x^2 -5xy -3y^2 + 7x - 7y + 6$

なので、 $2x^2 - 5xy - 3y^2 + 7x - 7y + 6 = (x - 3y + 2)(2x + y + 3)$となります。

(3) $(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72$ の因数分解

$(x-1)(x+1)(x+2)(x+4) - 72 = (x-1)(x+4)(x+1)(x+2) - 72$

$= (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2) - 72$

$y = x^2 + 3x$ と置くと、

$(y-4)(y+2) - 72 = y^2 -2y - 8 - 72 = y^2 - 2y - 80 = (y - 10)(y + 8)$

$(x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 8) = (x + 5)(x - 2)(x^2 + 3x + 8)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) (2x + 3)(3x - 4)

(2) (x - 3y + 2)(2x + y + 3)

(3) (x + 5)(x - 2)(x^2 + 3x + 8)