与えられた3つの式を因数分解し、空欄を埋める問題です。 (1) $8x^2 + 14x - 15$ (2) $6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2$ (3) $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4) - 84$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解し、空欄を埋める問題です。

(1) $8x^2 + 14x - 15$

(2) $6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2$

(3) $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4) - 84$

2. 解き方の手順

(1) $8x^2 + 14x - 15$ を因数分解します。

$8x^2 + 14x - 15 = (ax + b)(cx + d)$ の形になると仮定します。

$ac = 8$, $bd = -15$, $ad + bc = 14$ となる $a, b, c, d$ を探します。

試行錯誤すると、$a=4, c=2, b=5, d=-3$ が見つかります。

よって、$8x^2 + 14x - 15 = (4x + 5)(2x - 3)$ となります。

(2) $6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2$ を因数分解します。

$6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2 = (ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると仮定します。

$6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2 = (2x+y)(3x-y)$という情報から、$(2x+y + A)(3x-y+B)$の形と仮定します。

$(2x + y + A)(3x - y + B) = 6x^2 + 3xy - 2xy - y^2 + 2Bx + By + 3Ax - Ay + AB$

$= 6x^2 + xy - y^2 + (3A+2B)x + (B-A)y + AB$

これと $6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2$ を比較すると、

$3A+2B = -1$, $B-A = -3$, $AB = -2$ となります。

$B = A-3$ を $3A+2B = -1$ に代入すると、

$3A + 2(A-3) = -1$

$5A - 6 = -1$

$5A = 5$

$A = 1$

$B = 1 - 3 = -2$

$AB = 1 * (-2) = -2$

よって、$6x^2 + xy - y^2 - x - 3y - 2 = (2x + y + 1)(3x - y - 2)$ となります。

(3) $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4) - 84$ を因数分解します。

$(x+1)(x-3)(x+2)(x-4) - 84 = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8) - 84$

$t = x^2 - 2x$ とおくと、

$(t-3)(t-8) - 84 = t^2 - 11t + 24 - 84 = t^2 - 11t - 60 = (t-15)(t+4)$

$t = x^2 - 2x$ を代入すると、

$(x^2 - 2x - 15)(x^2 - 2x + 4) = (x-5)(x+3)(x^2 - 2x + 4)$

3. 最終的な答え

(1) 1: 4, 2: 5, 3: 2, 4: 3

(2) 5: 2, 6: 1, 7: 3, 8: 2

(3) 9: 3, 10: 5, 11: 2, 12: 4