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問題文は太郎さんと花子さんの会話形式で、2次関数に関する問題Aと問題Bが出題されています。問題Aでは、頂点の座標が(1,8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB=4を満たす2次関数を求めます。問題Bでは、問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD=6を満たし、点(1,10)を通る2次関数を求めます。さらに、空欄に当てはまるグラフの番号や数を答える問題、式を答える問題があります。

代数学二次関数二次方程式平行移動グラフ
2025/6/5

1. 問題の内容

問題文は太郎さんと花子さんの会話形式で、2次関数に関する問題Aと問題Bが出題されています。問題Aでは、頂点の座標が(1,8)で、x軸と異なる2点A, Bで交わり、AB=4を満たす2次関数を求めます。問題Bでは、問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもので、x軸と異なる2点C, Dで交わり、CD=6を満たし、点(1,10)を通る2次関数を求めます。さらに、空欄に当てはまるグラフの番号や数を答える問題、式を答える問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 問題Aについて考えます。
* 2次関数のグラフの概形は上に凸であることに注意します。なぜなら、頂点のy座標が正であるにもかかわらず、x軸と2点で交わっているからです。
* 点(1, 0)から2点A, Bは等距離にあることから、点A, Bのx座標がわかり、求める2次関数のグラフの概形は上に凸のグラフなので、選択肢の中から**1**を選びます。
* 太郎さんの発言より、y=a(x+(イ))(x−(ウ))y = a(x + (イ))(x - (ウ))とおけます。ただし、a<0a < 0。
* AB = 4という条件と、軸がx = 1であるという条件から、A, Bのx座標はそれぞれ1−2=−11 - 2 = -1, 1+2=31 + 2 = 3となります。
* よって、y=a(x+1)(x−3)y = a(x + 1)(x - 3)となります。ゆえに (イ) は 1, (ウ) は 3 です。
* 花子さんの発言より、2次関数①のグラフが点(1, 8)を通ることから、x=1,y=8x = 1, y = 8を代入すると、8=a(1+1)(1−3)=a(2)(−2)=−4a8 = a(1 + 1)(1 - 3) = a(2)(-2) = -4aとなります。
* よって、a=−2a = -2となります。
(2) 問題Bについて考えます。
* 2次関数のグラフが軸に関して対称であることから、問題Bで求める2次関数のグラフの軸を直線x=px = p (pは定数)とすると、(II)より、x軸との交点のx座標はp−3,p+3p - 3, p + 3となる。
(3) 問題文の空欄を埋めます。
* (エ) に当てはまるのは1, (オ) に当てはまるのは3です。
* (カ) に当てはまるのは -2です。
* (キ), (ク)について考えます。放物線上のx座標ppからの距離が等しい2点のx座標は、p−3,p+3p - 3, p + 3なので、x=p−3,x=p+3x = p - 3, x = p + 3。よってx−p=−3,x−p=3x - p = -3, x - p = 3。
* したがって、(キ) は p−3p - 3, (ク) は p+3p + 3とします。
(4) 問題Bを解きます。
問題Aの2次関数は、y=−2(x+1)(x−3)=−2(x2−2x−3)=−2x2+4x+6y = -2(x+1)(x-3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6
これを平行移動した関数は、y=−2(x−p)2+qy = -2(x-p)^2 + qとおける。
これは点(1, 10)を通るので、10=−2(1−p)2+q10 = -2(1-p)^2 + q。よって、q=10+2(1−p)2=10+2(1−2p+p2)=2p2−4p+12q = 10 + 2(1-p)^2 = 10 + 2(1 - 2p + p^2) = 2p^2 - 4p + 12
また、y=−2(x−(p−3))(x−(p+3))=−2(x2−2px+p2−9)=−2x2+4px−2p2+18y = -2(x - (p - 3))(x - (p + 3)) = -2(x^2 - 2px + p^2 - 9) = -2x^2 + 4px - 2p^2 + 18
y=−2(x−p)2+q=−2(x2−2px+p2)+q=−2x2+4px−2p2+qy = -2(x - p)^2 + q = -2(x^2 - 2px + p^2) + q = -2x^2 + 4px - 2p^2 + qなので、q=18q = 18
10+2(1−p)2=1810 + 2(1 - p)^2 = 18
2(1−p)2=82(1 - p)^2 = 8
(1−p)2=4(1 - p)^2 = 4
1−p=±21 - p = \pm 2
p=1±2p = 1 \pm 2なので、p=−1p = -1 または p=3p = 3
よって、y=−2(x+1−3)(x+1+3)=−2(x−2)(x+4)=−2x2−4x+16y = -2(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = -2(x - 2)(x + 4) = -2x^2 - 4x + 16
または、y=−2(x−3−3)(x−3+3)=−2(x−6)x=−2x2+12xy = -2(x - 3 - 3)(x - 3 + 3) = -2(x - 6)x = -2x^2 + 12x

3. 最終的な答え

(1) 1
(エ) 1
(オ) 3
(カ) -2
(キ) p−3p - 3
(ク) p+3p + 3
(iii) y=−2x2−4x+16y = -2x^2 - 4x + 16 または y=−2x2+12xy = -2x^2 + 12x

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