数列 $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + \cdots + (-1)^{n+1} n^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + \cdots + (-1)^{n+1} n^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n$ の式を偶数項までと奇数項までで分けて考える。

(1) $n$ が偶数のとき、$n=2k$ とおくと、

$S_{2k} = \sum_{i=1}^{2k} (-1)^{i+1} i^2 = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \cdots + ((2k-1)^2 - (2k)^2)$

ここで、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用すると、

$S_{2k} = (1+2)(1-2) + (3+4)(3-4) + \cdots + (2k-1+2k)(2k-1-2k)$

$S_{2k} = -3 - 7 - \cdots - (4k-1)$

この数列は初項が $-3$、公差が $-4$ の等差数列であるから、

$S_{2k} = - \sum_{i=1}^{k} (4i-1) = - \left( 4 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - k \right) = - \left( 2k^2 + 2k - k \right) = - (2k^2 + k)$

$k = \frac{n}{2}$ を代入すると、

$S_n = S_{2k} = - \left( 2 \left( \frac{n}{2} \right)^2 + \frac{n}{2} \right) = - \left( \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} \right) = - \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $n$ が奇数のとき、$n=2k+1$ とおくと、

$S_{2k+1} = S_{2k} + (2k+1)^2$

(1) の結果より、$S_{2k} = -(2k^2+k)$ であるから、

$S_{2k+1} = -(2k^2 + k) + (2k+1)^2 = -(2k^2 + k) + 4k^2 + 4k + 1 = 2k^2 + 3k + 1$

$S_{2k+1} = (2k+1)(k+1) = n \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

以上より、$n$ が偶数のとき $S_n = - \frac{n(n+1)}{2}$、$n$ が奇数のとき $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ となる。

まとめて書くと、$S_n = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$S_n = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$