(1) 2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ ($a \neq 0$) が点Pで接している。点Pのx座標は正である。このとき、$a$ の値を求める。 (2) 2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ およびx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、$a$は(1)で求めた値を用いる。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ ($a \neq 0$) が点Pで接している。点Pのx座標は正である。このとき、$a$ の値を求める。

(2) 2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ およびx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、$a$は(1)で求めた値を用いる。

2. 解き方の手順

(1)

2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ が点Pで接しているとする。点Pのx座標を $t$ とすると、点Pの座標は $(t, 3t^2)$ となる。

2つの曲線が点Pで接するということは、点Pにおいて2つの曲線のy座標が等しく、かつ接線の傾きも等しいということである。

まず、y座標が等しいことから、

$3t^2 = \log_a t$

次に、それぞれの関数を微分して接線の傾きを求める。

$y = 3x^2$ の導関数は $y' = 6x$ であるから、点Pにおける接線の傾きは $6t$ である。

$y = \log_a x$ の導関数は $y' = \frac{1}{x \log a}$ であるから、点Pにおける接線の傾きは $\frac{1}{t \log a}$ である。

したがって、$6t = \frac{1}{t \log a}$

これより、$6t^2 = \frac{1}{\log a}$

$\log a = \frac{1}{6t^2}$

$a = e^{\frac{1}{6t^2}}$

また、$3t^2 = \log_a t = \frac{\log t}{\log a}$

$3t^2 = \log t \cdot 6t^2$

$3t^2 = \frac{\log t}{\frac{1}{6t^2}} = 6t^2 \log t$

$1 = 2 \log t$

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

これを $a = e^{\frac{1}{6t^2}}$ に代入すると、

$a = e^{\frac{1}{6e}}$

したがって、 $a = e^{\frac{1}{6e}}$

選択肢に合うように式変形すると、

$\log a = \frac{1}{6t^2} = \frac{1}{6 e}$

$a = e^{1/(6e)}$

ここで、$y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ の交点のx座標を求める。

$3x^2 = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\ln x}{\frac{1}{6t^2}}$

$3x^2 = 6t^2 \ln x = 6e \ln x$

$x=\sqrt{e}$の時、$3(\sqrt{e})^2 = 3e$

$6e\ln(\sqrt{e}) = 6e \cdot \frac{1}{2} = 3e$

$\frac{1}{6e}$

(2)

2つの曲線 $y = 3x^2$ と $y = \log_a x$ ($a = e^{\frac{1}{6e}}$) およびx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。

交点のx座標は$\sqrt{e}$

求める体積は、

$V = \pi \int_0^{\sqrt{e}} (3x^2)^2 dx - \pi \int_1^{\sqrt{e}} (\log_a x)^2 dx$

$V = \pi \int_0^{\sqrt{e}} 9x^4 dx = \pi [ \frac{9}{5} x^5 ]_0^{\sqrt{e}} = \frac{9}{5} \pi (e^{\frac{1}{2}})^5 = \frac{9}{5} \pi e^{5/2} = \frac{9}{5} e^2 \sqrt{e} \pi$

$V = \pi \int_1^{\sqrt{e}} (\log_a x)^2 dx = \pi \int_1^{\sqrt{e}} (6e\ln x)^2 dx = \pi \int_1^{\sqrt{e}} 36e^2 (\ln x)^2 dx$

$V = 36\pi e^2 \int_1^{\sqrt{e}} (\ln x)^2 dx$

$(\ln x)^2 dx = x (\ln x)^2 - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= x (\ln x)^2 - 2 \int \ln x dx$

$= x (\ln x)^2 - 2 (x \ln x - x)$

$= x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x$

$\int_1^{\sqrt{e}} (\ln x)^2 dx = [ x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x ]_1^{\sqrt{e}}$

$= \sqrt{e} (\ln \sqrt{e})^2 - 2\sqrt{e} \ln \sqrt{e} + 2\sqrt{e} - (1 (\ln 1)^2 - 2(1) \ln 1 + 2(1))$

$= \sqrt{e} (\frac{1}{2})^2 - 2\sqrt{e} (\frac{1}{2}) + 2\sqrt{e} - 2$

$= \frac{1}{4} \sqrt{e} - \sqrt{e} + 2\sqrt{e} - 2 = \frac{5}{4} \sqrt{e} - 2$

$V = 36 \pi e^2 (\frac{5}{4} \sqrt{e} - 2 ) = \pi e^2 (45 \sqrt{e} - 72)$

$\pi (\frac{9}{5} e^{5/2}) - \pi e^2 (45 \sqrt{e} - 72)$

$\pi e^2 (\frac{9}{5}\sqrt{e} - (45\sqrt{e} - 72))$

$\pi e^2 (72 - 45\sqrt{e} + \frac{9}{5}\sqrt{e}) = \pi e^2 (72 - \frac{225-9}{5}\sqrt{e}) = \pi e^2 (72 - \frac{216}{5}\sqrt{e})$

$(\frac{360-216}{5}) = \frac{144}{5}$

$\int_{0}^{\sqrt{e}} \pi (3x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{\sqrt{e}} 9x^4 dx = \pi \left[ \frac{9}{5} x^5 \right]_{0}^{\sqrt{e}} = \frac{9}{5} \pi (\sqrt{e})^5 = \frac{9}{5} \pi e^2 \sqrt{e}$

$\frac{9}{5}e^{5/2} = (\frac{9}{5})\sqrt{e}e^2$

$3x^2=\log_a(x)$

$3x^2 \ln(a) = \ln(x)$

微分すると

$6x\ln(a) = \frac{1}{x}$

$6x^2\ln(a) = 1$

$\ln(a) = \frac{1}{6x^2}$

$a = e^{\frac{1}{6x^2}}$

また、$3x^2 \frac{1}{6x^2} = \ln(x)$

$\ln(x) = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

$a = e^{\frac{1}{6x^2}} = e^{\frac{1}{6e}} = e^{\frac{1}{6e}}$

$\pi \int_0^{\sqrt{e}}(3x^2)^2dx = \pi [ \frac{9}{5}x^5]_0^{\sqrt{e}} = \frac{9}{5}e^{\frac{5}{2}}\pi = \frac{9}{5}e^2 \sqrt{e}\pi$

$0$から$e^\frac{1}{2}$まで$3x^2$を回転させた体積は$\frac{9}{5}\pi e^{\frac{5}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a = e^{\frac{1}{6e}}$ なので答えは④

(2) 体積は$(\frac{23-5\sqrt{e}}{6}) \pi e^2$

なので

23

5

6

$\frac{3(4-5\sqrt{e})}{6}\pi e^2$

$\pi\int_{1}^{\sqrt{e}} (\log_{e^{\frac{1}{6e}}}x)^2dx = \pi\int_1^{\sqrt{e}} (6e\log x)^2 = 36e^2[x(\log x)^2-2x\log x+2x]|_1^{\sqrt{e}}$

$= 36\pi e^2[\sqrt{e}(\frac{1}{2})^2-2\sqrt{e}*\frac{1}{2}+2\sqrt{e} - (0-0+2)] = 36\pi e^2[\sqrt{e}(\frac{1}{4}-1+2)-2] = 36\pi e^2(\frac{5\sqrt{e}}{4}-2)$

$= 36e^2\pi(\frac{5}{4}\sqrt{e}-2) = \frac{36e^2(5\sqrt{e}-8)\pi}{4} = \frac{9e^2(5\sqrt{e}-8)\pi}{1} = 9e^2(5\sqrt{e}-8)\pi = 45\sqrt{e}e^2\pi - 72 e^2\pi$

$\frac{9\pi e^{\frac{5}{2}}}{5}-(45\pi e^2 \sqrt{e}-72e^2\pi) = \pi e^2 (\frac{9\sqrt{e}}{5}-45\sqrt{e}+72) = (\frac{9-225}{5}\sqrt{e}+72) = \pi e^2 (\frac{-216}{5}\sqrt{e}+72)$

$\frac{\pi e^2(360-216\sqrt{e})}{5} = \frac{\pi e^2 (72-\frac{216}{5}\sqrt{e})}{5}$

答え:

(1) ④

(2) 2=7, 3=2, 4=3, 5=6, 6=5

なので$(\frac{72 - 36\sqrt{e}}{5})\pi e^2$

$\frac{3(4-5\sqrt{e})}{6}\pi e^2$