りんごが4個、みかんが2個、桃が2個ある。これらの果物の中から合計6個を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、どの果物も選ばれないものがあってもよい。

1. 問題の内容

りんごが4個、みかんが2個、桃が2個ある。これらの果物の中から合計6個を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、どの果物も選ばれないものがあってもよい。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組合せの問題として考えることができます。

りんご、みかん、桃をそれぞれ $x, y, z$ 個選ぶとすると、

$x + y + z = 6$

を満たす非負整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めればよいことになります。

ただし、りんごは最大4個、みかんは最大2個、桃は最大2個までしか選べないので、

$0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 2$

という制約条件が付きます。

まず、制約条件がない場合の解の個数を考えます。これは、3種類のものを合わせて6個選ぶ重複組合せなので、

${}_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6} = {}_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

通りあります。

次に、制約条件を満たさない場合を考えます。

(i) $x \ge 5$ のとき：$x' = x - 5$ とおくと、$x' + y + z = 1$ となり、${}_{3}H_{1} = {}_{3}C_{1} = 3$ 通り

(ii) $y \ge 3$ のとき：$y' = y - 3$ とおくと、$x + y' + z = 3$ となり、${}_{3}H_{3} = {}_{5}C_{3} = {}_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

(iii) $z \ge 3$ のとき：$z' = z - 3$ とおくと、$x + y + z' = 3$ となり、${}_{3}H_{3} = {}_{5}C_{3} = {}_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

(iv) $y \ge 3$ かつ $z \ge 3$ は同時に起こりえないため、考慮しません。

したがって、制約条件を満たさない組み合わせは、3 + 10 + 10 = 23 通りです。

しかし、この計算には重複があります。$y \ge 3$かつ$z \ge 3$ となることはないので、重複して引くものはありません。

したがって、求める場合の数は、

$28 - (3+10+10) = 28 - 23 = 5$ 通りです。

しかし、これは間違っています。

考え方を変えます。

みかんと桃の合計個数は最大でも4個なので、りんごは最低2個は必要です。

りんごの個数を$x$, みかんの個数を$y$, 桃の個数を$z$とすると、

$x + y + z = 6$

$0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 2$

$y + z$ のとりうる値は $0, 1, 2, 3, 4$ なので、

$x$ の値は $6, 5, 4, 3, 2$です。しかし、$x \le 4$なので、$x = 6, 5$はありえません。

$x = 4$ のとき $y + z = 2$。$(y, z) = (0, 2), (1, 1), (2, 0)$の3通り

$x = 3$ のとき $y + z = 3$。$(y, z) = (1, 2), (2, 1)$の2通り

$x = 2$ のとき $y + z = 4$。$(y, z) = (2, 2)$の1通り

したがって、3 + 2 + 1 = 6通り。

3. 最終的な答え

6通り