全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $B = \{3, 5, 7\}$、 $A \cap B = \{7\}$、 $A^c \cap B^c = \{1, 8\}$ が与えられています。 以下の集合を求めます。 (1) $A$ (2) $A^c$ (3) $B^c$ (4) $A \cup B$ (5) $A \cap B^c$ (6) $(A \cup B)^c$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $B = \{3, 5, 7\}$、 $A \cap B = \{7\}$、 $A^c \cap B^c = \{1, 8\}$ が与えられています。

以下の集合を求めます。

(1) $A$

(2) $A^c$

(3) $B^c$

(4) $A \cup B$

(5) $A \cap B^c$

(6) $(A \cup B)^c$

2. 解き方の手順

まず、集合Aを求めます。

$A^c \cap B^c = \{1, 8\}$ はド・モルガンの法則より $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$なので、$(A \cup B)^c = \{1, 8\}$となります。

よって、$A \cup B = U - (A \cup B)^c = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$となります。

$A \cap B = \{7\}$ より、Aは7を要素として持ちます。

Bは{3, 5, 7}なので、$A \cup B$ に含まれる要素でBに含まれない要素は{2, 4, 6, 9}です。

したがって、$A = \{2, 4, 6, 7, 9\}$となります。

(1) A：

$A = \{2, 4, 6, 7, 9\}$

(2) $A^c$：

$A^c = U - A = \{1, 3, 5, 8\}$

(3) $B^c$：

$B^c = U - B = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(4) $A \cup B$：

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $A \cap B^c$：

$A \cap B^c = A - B = \{2, 4, 6, 9\}$

(6) $(A \cup B)^c$：

$(A \cup B)^c = U - (A \cup B) = \{1, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \{2, 4, 6, 7, 9\}$

(2) $A^c = \{1, 3, 5, 8\}$

(3) $B^c = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(4) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $A \cap B^c = \{2, 4, 6, 9\}$

(6) $(A \cup B)^c = \{1, 8\}$