自然数 $1, 2, \dots, n$ から異なる2つを取り出して積を作り、それらの積の総和を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $1, 2, \dots, n$ から異なる2つを取り出して積を作り、それらの積の総和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1$ から $n$ までの自然数の総和 $S_1$ と、自然数の二乗の総和 $S_2$ を考えます。

$S_1 = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_2 = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

求める積の和を $A$ とすると、$A$ は次のように表現できます。

$A = \sum_{1 \le i < j \le n} ij$

次に、総和の二乗を考えます。

$(\sum_{i=1}^{n} i)^2 = (\sum_{i=1}^{n} i) (\sum_{j=1}^{n} j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij = \sum_{i=1}^{n} i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} ij$

$= S_2 + 2A$

したがって、$A$ は次のように表せます。

$A = \frac{1}{2} (S_1^2 - S_2)$

$S_1$ と $S_2$ を代入します。

$A = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{24} (3n^2 + 3n - 4n - 2)$

$A = \frac{n(n+1)}{24} (3n^2 - n - 2)$

$A = \frac{n(n+1)}{24} (3n+2)(n-1)$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$