整式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たしています。 * $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りが $5x+2$ となる。 * $P(x)$ を $x-2$ で割ると、余りが $3$ となる。 このとき、以下の問いに答えます。 (1) $P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りを求めます。 (2) $P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たしています。

* $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りが $5x+2$ となる。

* $P(x)$ を $x-2$ で割ると、余りが $3$ となる。

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りを求めます。

(2) $P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りを $ax+b$ と置きます。

$P(x) = (x+1)(x-2)Q(x) + ax + b$ (ただし、$Q(x)$ は商)と表せます。

$P(-1) = -a + b$ となります。条件より、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余りが $5x+2$ であるから、$P(-1) = 5(-1) + 2 = -3$ となります。

よって、$-a + b = -3$。

次に、$P(2)$ を求めます。条件より、$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $3$ であるから、$P(2) = 3$ となります。

$P(2) = 2a + b = 3$

連立方程式

$-a + b = -3$

$2a + b = 3$

を解くと、$3a = 6$ より $a = 2$。$b = -3 + a = -3 + 2 = -1$

したがって、余りは $2x - 1$ です。

(2) $P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割った余りを $ax^2 + bx + c$ と置きます。

$P(x) = (x+1)^2(x-2)Q(x) + ax^2 + bx + c$ (ただし、$Q(x)$ は商) と表せます。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りは $5x+2$ なので、$ax^2+bx+c$ を $(x+1)^2$ で割った余りも $5x+2$ となります。

よって、$ax^2 + bx + c = a(x+1)^2 + 5x + 2 = a(x^2 + 2x + 1) + 5x + 2 = ax^2 + (2a+5)x + (a+2)$

したがって、$ax^2 + bx + c = ax^2 + (2a+5)x + (a+2)$

$P(2) = 3$ なので、$a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 3$

$4a + 2(2a+5) + (a+2) = 3$

$4a + 4a + 10 + a + 2 = 3$

$9a + 12 = 3$

$9a = -9$

$a = -1$

よって、$ax^2 + bx + c = -1(x+1)^2 + 5x + 2 = -(x^2+2x+1) + 5x + 2 = -x^2 + 3x + 1$

したがって、余りは $-x^2+3x+1$です。

3. 最終的な答え

(1) $2x - 1$

(2) $-x^2 + 3x + 1$