$f(x) = x^3 - ax^2 + b$という関数があり、曲線 $y = f(x)$ が2点 $A(1, 2)$ と $B(3, 4)$ を通る。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x)$ が極大値と極小値をとる $x$ の値を求め、それぞれの値を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 - ax^2 + b$という関数があり、曲線 $y = f(x)$ が2点 $A(1, 2)$ と $B(3, 4)$ を通る。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x)$ が極大値と極小値をとる $x$ の値を求め、それぞれの値を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(1, 2)$ と $B(3, 4)$ を曲線 $y = f(x)$ に代入する。

$f(1) = 1^3 - a(1)^2 + b = 1 - a + b = 2$

$f(3) = 3^3 - a(3)^2 + b = 27 - 9a + b = 4$

この連立方程式を解く。

$1 - a + b = 2$ より、 $b = a + 1$

$27 - 9a + b = 4$ に $b = a + 1$ を代入して、

$27 - 9a + a + 1 = 4$

$28 - 8a = 4$

$8a = 24$

$a = 3$

$b = a + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、$a = 3$, $b = 4$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ である。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のとき。

$f''(x) = 6x - 6$

$f''(0) = -6 < 0$ より、$x = 0$ で極大値をとる。

$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$

$f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$ より、$x = 2$ で極小値をとる。

$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

したがって、$x = 0$ で極大値 $4$ をとり、$x = 2$ で極小値 $0$ をとる。

(3) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を求める。

$f(x) = (x+1)(x-2)^2$

$f(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ または $x = 2$ のとき。

求める面積 $S$ は、

$S = \left| \int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \right|$

$S = \left| \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^{2} \right|$

$S = \left| \left( \frac{1}{4}(2)^4 - (2)^3 + 4(2) \right) - \left( \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^3 + 4(-1) \right) \right|$

$S = \left| (4 - 8 + 8) - (\frac{1}{4} + 1 - 4) \right|$

$S = \left| 4 - (-\frac{11}{4}) \right|$

$S = \left| 4 + \frac{11}{4} \right|$

$S = \left| \frac{16}{4} + \frac{11}{4} \right|$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = 4$

(2) $x = 0$ で極大値 $4$ をとり、$x = 2$ で極小値 $0$ をとる。

(3) $\frac{27}{4}$