問題は以下の通りです。 (1) $0$ と $1$ の間にあって、分母が $3^n$ ($n$ は定まった正の整数) であり、分子が $3$ で割り切れない整数の分数の和を $S_n$ とする。$S_n$ を求めよ。 (2) $\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{S_n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $0$ と $1$ の間にあって、分母が $3^n$ ($n$ は定まった正の整数) であり、分子が $3$ で割り切れない整数の分数の和を $S_n$ とする。$S_n$ を求めよ。

(2) $\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{S_n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

分母が $3^n$ である分数のうち、$0$ より大きく $1$ より小さいものは $\frac{1}{3^n}, \frac{2}{3^n}, \dots, \frac{3^n-1}{3^n}$ です。

このうち分子が $3$ で割り切れないものを求めます。

分子が $3$ で割り切れるものは $3, 6, \dots, 3^{n}-3$ の $3^{n-1}-1$ 個です。

したがって、分子が $3$ で割り切れないものは $3^n-1 - (3^{n-1}-1) = 3^n - 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$ 個です。

これらの和を求めます。

$3$ で割り切れない分子は、

$1, 2, 4, 5, \dots, 3^n - 2, 3^n - 1$ です。

これらの和を $A$ とすると、

$A = \sum_{k=1}^{3^n-1} k - \sum_{k=1}^{3^{n-1}-1} 3k$

$= \frac{(3^n-1)3^n}{2} - 3 \cdot \frac{(3^{n-1}-1)3^{n-1}}{2}$

$= \frac{3^n (3^n-1) - 3(3^{n-1} - 1)3^{n-1}}{2}$

$= \frac{3^{2n} - 3^n - 3 \cdot 3^{2n-2} + 3 \cdot 3^{n-1}}{2}$

$= \frac{3^{2n} - 3^n - 3^{2n-1} + 3^n}{2}$

$= \frac{3^{2n} - 3^{2n-1}}{2} = \frac{3^{2n-1}(3-1)}{2} = \frac{2 \cdot 3^{2n-1}}{2} = 3^{2n-1}$

したがって、$S_n = \frac{3^{2n-1}}{3^n} = 3^{2n-1-n} = 3^{n-1}$.

(2)

$\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{S_n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{S_k}$

ここで、$S_k = 3^{k-1}$ であるから、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{3^{k-1}} = \sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-\frac{1}{3})^k$

これは初項 $1$, 公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$\frac{1 - (-\frac{1}{3})^n}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1 - (-\frac{1}{3})^n}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}(1 - (-\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 3^{n-1}$

(2) $\frac{3}{4}(1 - (-\frac{1}{3})^n)$