問題は、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ の公式を利用して、次の和を求めるというものです。 (1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 30^3$ (2) $11^3 + 12^3 + 13^3 + \dots + 40^3$

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ の公式を利用して、次の和を求めるというものです。

(1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 30^3$

(2) $11^3 + 12^3 + 13^3 + \dots + 40^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ を利用します。

$n=30$を代入して、

$\sum_{k=1}^{30} k^3 = \left( \frac{30(30+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{30 \cdot 31}{2} \right)^2 = (15 \cdot 31)^2 = (465)^2 = 216225$

(2) $\sum_{k=11}^{40} k^3$を求めるために、$\sum_{k=1}^{40} k^3$から$\sum_{k=1}^{10} k^3$を引きます。

$\sum_{k=1}^{40} k^3 = \left( \frac{40(40+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{40 \cdot 41}{2} \right)^2 = (20 \cdot 41)^2 = (820)^2 = 672400$

$\sum_{k=1}^{10} k^3 = \left( \frac{10(10+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)^2 = (5 \cdot 11)^2 = (55)^2 = 3025$

したがって、$\sum_{k=11}^{40} k^3 = \sum_{k=1}^{40} k^3 - \sum_{k=1}^{10} k^3 = 672400 - 3025 = 669375$

3. 最終的な答え

(1) $216225$

(2) $669375$