以下の4つの問題を解く。 (1) 関数 $y = \frac{3x-2}{x+1}$ ($x > -1$) の逆関数を求める。 (2) 定積分 $\int_3^6 \frac{x}{\sqrt{7-x}} dx$ を計算する。 (3) 定積分 $\int_1^e (\log x)^2 dx$ を計算する。 (4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$ を計算する。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解く。

(1) 関数 $y = \frac{3x-2}{x+1}$ ($x > -1$) の逆関数を求める。

(2) 定積分 $\int_3^6 \frac{x}{\sqrt{7-x}} dx$ を計算する。

(3) 定積分 $\int_1^e (\log x)^2 dx$ を計算する。

(4) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{3x-2}{x+1}$ を $x$ について解く。

$y(x+1) = 3x-2$

$yx + y = 3x - 2$

$yx - 3x = -y - 2$

$x(y-3) = -y-2$

$x = \frac{-y-2}{y-3} = \frac{y+2}{3-y}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は $y = \frac{x+2}{3-x}$ となる。

定義域を考える。$x > -1$ のとき、$y = \frac{3x-2}{x+1} = \frac{3(x+1) - 5}{x+1} = 3 - \frac{5}{x+1}$ であるから、$x+1 > 0$ より $\frac{5}{x+1} > 0$ なので、$y < 3$となる。

よって逆関数の定義域は $x < 3$ となる。

$y = -\frac{x+2}{x-3} = \frac{x+2}{3-x}$.

(2)

$t = 7-x$ と置換すると、$x = 7-t$、$dx = -dt$。

$x = 3$ のとき $t = 4$、$x = 6$ のとき $t = 1$。

$\int_3^6 \frac{x}{\sqrt{7-x}} dx = \int_4^1 \frac{7-t}{\sqrt{t}} (-dt) = \int_1^4 \frac{7-t}{\sqrt{t}} dt = \int_1^4 (7t^{-1/2} - t^{1/2}) dt$

$= [7 \cdot 2t^{1/2} - \frac{2}{3}t^{3/2}]_1^4 = [14\sqrt{t} - \frac{2}{3}t\sqrt{t}]_1^4 = (14 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2) - (14 - \frac{2}{3}) = 28 - \frac{16}{3} - 14 + \frac{2}{3} = 14 - \frac{14}{3} = \frac{42-14}{3} = \frac{28}{3}$

(3)

$\int_1^e (\log x)^2 dx$

部分積分を行う。$u = (\log x)^2, dv = dx$ とすると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx, v = x$

$\int_1^e (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_1^e - \int_1^e x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = e(\log e)^2 - 1(\log 1)^2 - 2\int_1^e \log x dx = e - 2\int_1^e \log x dx$

$\int_1^e \log x dx$ について、$u = \log x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$

$\int_1^e \log x dx = [x\log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = e\log e - 1\log 1 - \int_1^e dx = e - 0 - [x]_1^e = e - (e-1) = 1$

$\int_1^e (\log x)^2 dx = e - 2 \cdot 1 = e - 2$

(4)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{n}{k}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k/n}} = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_0^1 x^{-1/2} dx = [2x^{1/2}]_0^1 = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1, 2, 3

(2) 2, 8, 3

(3) 2

(4) 2